Question

【題目】如圖，已知線段AB＝8，O為AB的中點，P是平面內的一個動點，在運動過程中保持OP＝2不變，連結BP，將PB繞點P逆時針旋轉90°到PC，連結BC、AC，則線段AC長的最大值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

以O為坐標原點建立坐標系，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，過點P作PE⊥DC，垂足為E，延長EP交x軸于點F，設點P的坐標為（x，y），則x2+y2=4．然后證明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性質得到EC=PF=y，FB=EP=4-x，從而得到點C（x+y，y+4-x），最后依據兩點間的距離公式可求得AC的范圍．

如圖所示：過點C作CD⊥y軸，垂足為D，過點P作PE⊥DC，垂足為E，延長EP交x軸于點F．

∵AB＝8，O為AB的中點，

∴A（﹣4，0），B（4，0）．

設點P的坐標為（x，y），則x2+y2＝4．

∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，

∴∠ECP＝∠FPB．

由旋轉的性質可知：PC＝PB．

在△ECP和△FPB中

，

∴△ECP≌△FPB．

∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝4﹣x．

∴C（x+y，y+4﹣x）．

∵AB＝8，O為AB的中點，

∴AC＝ ．

∵x2+y2＝4，

∴AC＝

∵﹣2≤y≤2

∴當y＝2時，AC最大值為

故答案為