Question

【題目】已知正方形ABCD，對角線AC、BD交于點O，線段OE⊥OF，且與邊AD、AB交于點E、F．

（1）求證：OE＝OF；

（2）連接EF，交AC于點H，若HF：AF＝：2，求OH：EF；

（3）若E、F分別在DA、AB延長線上，OE與AB交于點M，若△MOF∽△EAF，AF＝1，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）＝；（3）正方形的邊長為2﹣

【解析】

（1）證明△EOA≌△FOB（ASA）即可解決問題；

（2）證明△OEH∽△FAH，推出＝，可得＝＝，由EF＝OE，可得＝＝，由此即可解決問題；

（3）首先證明OA＝OB＝BF，設OA＝OB＝BF＝x，則AB＝x，根據AF＝1，構建方程即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA＝OB，AC⊥BD，∠EAO＝∠OBF＝45°，

∵OE⊥OF，

∴∠EFO＝∠AOB＝90°，

∴∠AOE＝∠BOF，

∴△EOA≌△FOB（ASA），

∴OE＝OF．

（2）解：如圖1中，∵OE＝OF，∠EOF＝90°，

∴∠OEF＝∠OFE＝45°，

∵∠CAB＝45°，

∴∠OEH＝∠FAH，

∵∠EHO＝∠AHF，

∴△OEH∽△FAH，

∴FF0C，

∵EF＝OE，

∴，

∴＝；

（3）解：如圖2中，

∵△MOF∽△EAF，

∴∠OFM＝∠EAF，

由（1）可知△AOE≌△BOF，

∴OE＝OF，

∵∠EOF＝90°，

∴∠EFO＝45°，

∴∠BFO＝∠BFE＝22.5°，

∵∠ABO＝∠BFO+∠BOF＝45°，

∴∠BOF＝∠BOF＝22.5°，

∴OB＝BF，

∵OA＝OB，

∴OA＝OB＝BF，設OA＝OB＝BF＝x，則AB＝x，

∵AF＝AB+BF＝x+x＝1，

∴x＝﹣1，

∴AB＝AF﹣BF＝1﹣（﹣1）＝2﹣，

∴正方形的邊長為2﹣．