Question

【題目】如圖，三角形是以為底邊的等腰三角形，點、分別是一次函數的圖象與軸、軸的交點，點在二次函數的圖象上，且該二次函數圖象上存在一點使四邊形能構成平行四邊形.

（1）試求、的值，并寫出該二次函數表達式；

（2）動點沿線段從到，同時動點沿線段從到都以每秒1個單位的速度運動，問：

①當運動過程中能否存在？如果不存在請說明理由；如果存在請說明點的位置？

②當運動到何處時，四邊形的面積最小？此時四邊形的面積是多少？

Answer 1

【答案】（1），；（2） ①當點運動到距離點個單位長度處，有；②當點運動到距離點個單位處時，四邊形面積最小，最小值為.

【解析】

（1）根據一次函數解析式求出A和C的坐標，再由△ABC是等腰三角形可求出點B的坐標，根據平行四邊形的性質求出點D的坐標，利用待定系數法即可得出二次函數的表達式；

（2）①設點P運動了t秒，PQ⊥AC，進而求出AP、CQ和AQ的值，再由△APQ∽△CAO，利用對應邊成比例可求出t的值，即可得出答案；

②將問題化簡為△APQ的面積的最大值，根據幾何關系列出關于時間的二次函數，根據二次函數的性質，求出函數的最大值，即求出△APQ的面積的最大值，進而求出四邊形PDCQ面積的最小值.

解：（1）由，

令，得，所以點；

令，得，所以點，

∵是以為底邊的等腰三角形，

∴點坐標為，

又∵四邊形是平行四邊形，

∴點坐標為，

將點、點代入二次函數，可得，

解得：，

故該二次函數解析式為：.

（2）∵，，

∴.

①設點運動了秒時，，此時，，，

∵，

∴，，

∴，

∴，即，

解得：.

即當點運動到距離點個單位長度處，有.

②∵，且，

∴當的面積最大時，四邊形的面積最小，

當動點運動秒時，，，，

設底邊上的高為，作于點，

由可得：，

解得：，

∴，

∴當時，達到最大值，此時，

故當點運動到距離點個單位處時，四邊形面積最小，最小值為.