Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于點，與軸交于點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點為拋物線的頂點，在軸上是否存在點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；

（3）如圖2，位于軸右側且垂直于軸的動直線沿軸正方向從運動到(不含點和點)，分別與拋物線、直線以及軸交于點，過點作于點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析；（3）最大值為．

【解析】

(1)利用待定系數法求出解析式；

(2) 設點N的坐標為(0，m)，過點M做MH⊥y軸于點H，證得△MHN∽△NOB，利用對應邊成比例，得到，方程無實數解，所以假設錯誤，不存在；

(3) △PQE∽△BOC，得，得到，當PE最大時，最大，求得直線的解析式，設點P的坐標為 ，則E，再求得PE的最大值，從而求得答案．

(1) 把點A（-2，0）、B（8，0）、C（0，4）分別代入，得：

，

解得，

則該拋物線的解析式為：；

(2)不存在

∵拋物線經過A（-2，0）、B（8，0），

∴拋物線的對稱軸為，

將代入得：，

∴拋物線的頂點坐標為： ，

假設在軸上存在點，使∠MNB=90，

設點N的坐標為(0，m)，過頂點M做MH⊥y軸于點H，

∴∠MNH+∠ONB=90，∠MNH+∠HMN=90，

∴∠HMN=∠ONB，

∴△MHN∽△NOB，

∴，

∵B（8，0），N (0，m)， ，

∴，

∴，

整理得：，

∵，

∴方程無實數解，所以假設錯誤，

在軸上不存在點，使∠MNB=90；

(3) ∵PQ⊥BC，PF⊥OB，

∴，

∴EF∥OC，

∴，

∴△PQE∽△BOC，

得，

∵B（8，0）、C（0，4），

∴，，，

∴，

∴，

∴當PE最大時，最大，

設直線的解析式為，

將B（8，0）、C（0，4）代入得，

解得：，

∴直線的解析式為，

設點P的坐標為 ，

則點E的坐標為，

∴，

∵，

∴當時，有最大值為4，

∴最大值為．