Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O的直徑，G為弦AE的中點，OG的延長線交⊙O于點D，連接BD交AE于點F，延長AE至點C，使得FC＝BC，連接BC．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）⊙O的半徑為10，tanA＝，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質得到∠ODB＝∠OBD，∠CFB＝∠CBF，由垂徑定理得到OD⊥AE，推出CB⊥OB，于是得到BC是⊙O的切線；

（2）連接AD，根據圓周角定理得到∠ADB＝90°，根據三角函數的定義得到OG＝6，AG＝8，由勾股定理得到，通過證明△AGD∽△DGF得到GF＝2，，于是得到結論．

解：（1）∵OD＝OB，FC＝BC，

∴∠ODB＝∠OBD，∠CFB＝∠CBF，

∵G為弦AE的中點，且OD為半徑，

∴OD⊥AE，

∴∠ODB+∠DFG＝∠ODB+∠CFB＝90°，

∴∠OBD+∠CBF＝90°，即CB⊥OB，

∴BC是⊙O的切線；

（2）連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

由可設OG=3x，AG=4x，

在Rt△AOG中，

(3x)2+(4x)2=100，

∴x=2，

∴OG＝6，AG＝8，

∴，

∴．

∵∠DAG+∠DFG=90°，∠GDF+∠DFG=90°，

∴∠DAG=∠GDF，

又∵∠DGF=∠AGD=90°，

∴△AGD∽△DGF，

∴，

∴GF＝2，，

∴BF＝BD﹣DF＝6．