Question

【題目】如圖，已知一條直線過點，且與拋物線交于兩點，其中點的橫坐標是.

⑴求這條直線的函數關系式及點的坐標 ；

⑵在軸上是否存在點 ,使得△是直角三角形？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由；

⑶過線段上一點,作∥軸，交拋物線于點,點在第一象限；點，當點的橫坐標為何值時， 的長度最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）點的坐標為；（2）；（3）當的橫坐標為6時， 的長度最大值為18.

【解析】⑴關鍵是求直線的解析式，由于直線上有一點為，所以再找一個點即可求出直線的解析式； 的橫坐標是代入拋物線的解析式即可求出它的縱坐標，利用待定系數法可求直線的函數關系式；由于點是兩個函數圖象的交點，所以把兩個函數聯立起來，利用方程思想可以解決問題.

⑵先假設存在，在假設存在的情況下還要分類討論，因為沒有指明直角頂點，所以要分成三種情況來討論，利用勾股定理建立方程可以解決問題.

⑶利用的橫坐標分別表示出線段的長度，再利用建立函數關系，再根據函數關系來求最值.

解：⑴∵直線與拋物線交點的橫坐標是，

∴，

∴點的坐標是

設此直線的解析式為，

將 代入得 ，

解得： ，

∴此直線的解析式為.

∵直線和拋物線交于兩點,

∴

解得： 或

∴點的坐標為 .

⑵.如備用圖，點在軸上，連接 .

∵的坐標是，點的坐標為 ,

∴ ,

若設存在的點的坐標為，則：

，

,

①.當時， ,即 ,

解得： .

②.當時， ,即

解得： 或.

③.當時， ,即

解得： .

∴求出點的坐標為 .

⑶.設點 ，設與軸的交點為;

在△中,由勾股定理的： ,

又∵點與點的縱坐標相同，∴ ,

∴，即點的橫坐標為,

∴ ,

∴,

∴當時，又∵，取值最大值取到18.

∴當的橫坐標為6時， 的長度最大值為18.