Question

6．如圖，點E是正方形ABCD內一點，點E到點A，B和D的距離分別為1，2$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$．將△ADE繞點A旋轉至△ABG，連結ABG，連結AE，并延長AE與BC相交于點F，連接GF，則線段GF長為$\frac{\sqrt{178}}{3}$．

Answer 1

分析 作BM⊥AF垂足為F，根據勾股定理逆定理得到△EMB是直角三角形，利用△ABM∽△AFB得到AF，在RT△AFG中利用勾股定理即可．

解答 解：作BM⊥AF垂足為F，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADE繞點A順時針旋轉后得到△ABG，
∴∠EAG=∠DAB=90°，DE=BG=$\sqrt{10}$，
∵AE=AG=1，
∴EG=$\sqrt{A{E}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵EG²+EB²=（$\sqrt{2}$）²+（2$\sqrt{2}$）²=10，
BG²=（$\sqrt{10}$）²=10，
∴BG²=EG²+EB²，
∴∠BEG=90°，
∵∠AEG=∠AGE=45°，∠BEM+∠AEG=90°，
∴∠BEM=45°，
∵$EB=2\sqrt{2}$，
∴ME=MB=2，
在RT△ABM中，AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$
在△ABM和△AFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠BAF}\\{∠AMB=∠ABF}\end{array}\right.$，
∴△ABM∽△AFB，
∴$\frac{AB}{AF}=\frac{AM}{AB}$，
∴$\frac{\sqrt{13}}{AF}$=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，
AF=$\frac{13}{3}$，
在RT△AFG中，FG=$\sqrt{A{F}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{13}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{178}}{3}$．

點評 本題考查了旋轉的性質、勾股定理、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性質，靈活運用勾股定理是解題的關鍵．