Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線 BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經過點M，交BC于點G，交 AB于點F．

（1）求證：AE為⊙O的切線；

（2）當BC＝8，AC＝12時，求EM的長；

（3）在（2）的條件下，可求出⊙O的半徑為　 　，線段BG的長　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）3，2.

【解析】

（1）連接OM．利用角平分線的性質和平行線的性質得到AE⊥OM后即可證得AE是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為R，根據OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，由相似三角形的性質，可求出圓的半徑，在直角三角形AEB中根據勾股定理可求出AE的長，再由平行線分線段成比例定理即可求出EM 的長；

（3）由（2）可知圓的半徑為3，過點O作OH⊥BG于點H，則BG＝2BH，根據∠OME＝∠MEH＝∠EHO＝90°，得到四邊形OMEH是矩形，從而得到HE＝OM＝3和BH＝1，證得結論BG＝2BH＝2．

（1）證明：連接OM．

∵AC＝AB，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，CE＝BE＝BC＝4，

∵OB＝OM，

∴∠OBM＝∠OMB，

∵BM平分∠ABC，

∴∠OBM＝∠CBM，

∴∠OMB＝∠CBM，

∴OM∥BC，

又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，

∴AE是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為R，

∵OM∥BE，

∴△OMA∽△BEA，

∴ ，

∵AC＝AB＝12，

即 ，

解得R＝3，

∴⊙O的半徑為3，

∵OM∥BE，

∴AM：EM＝AO：BO，

∵BE＝4，AB＝12，

∴AE＝

即 ．

解得：EM＝2 ；

（3）由（2）可知圓的半徑為3，

過點O作OH⊥BG于點H，則BG＝2BH，

∵∠OME＝∠MEH＝∠EHO＝90°，

∴四邊形OMEH是矩形，

∴HE＝OM＝3，

∴BH＝1，

∴BG＝2BH＝2．

故答案為：3，2．