Question

【題目】如圖，在中，，，.

（1）如圖，點、在，上，且，求證：.

（2）點，分別在直線，上，且.

①如圖，當點在的延長線上時，求證：；

②當點在點，之間，且時，已知，直接寫出線段的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析，②.

【解析】

（1）先判斷出∠BAD=∠CAD=45°，進而得出∠CAD=∠B，再判斷出∠BDE=∠ADF，進而判斷出△BDE≌△ADF，即可得出結論；

（2）①先判斷出AM=PM，進而判斷出∠BMP=∠AMN，判斷出△AMN≌△PMB，即可判斷出AP=AB+AN，再判斷出AP=AM，即可得出結論；

②先求出BD，再求出∠BMD=30°，最后用三角函數求出DM，即可得出結論．

（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°，

∵AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，

∴∠CAD=∠B，AD=BD，

∵∠EDF=∠ADC=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE=AF；

（2）①如圖1，過點M作MP⊥AM，交AB的延長線于點P，

∴∠AMP=90°，

∵∠PAM=45°，

∴∠P=∠PAM=45°，

∴AM=PM，

∵∠BMN=∠AMP=90°，

∴∠BMP=∠AMN，

∵∠DAC=∠P=45°，

∴△AMN≌△PMB（ASA），

∴AN=PB，

∴AP=AB+BP=AB+AN，

在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，

∴AP=AM，

∴AB+AN=AM；

②如圖，

在Rt△ABD中，AD=BD=AB=，

∵∠BMN=90°，∠AMN=30°，

∴∠BMD=90°-30°=60°，

在Rt△BDM中，DM=，

∴AM=AD-DM=-1．