Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系內，點O為坐標原點，經過A(-2，6)的直線交x軸正半軸于點B，交y軸于點C，OB=OC，直線AD交x軸負半軸于點D，若△ABD的面積為27．

（1）求直線AD的解析式；

（2）橫坐標為m的點P在AB上（不與點A，B重合），過點P作x軸的平行線交AD于點E，設PE的長為y（y≠0），求y與m之間的函數關系式并直接寫出相應的m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在點F，使△PEF為等腰直角三角形？若存在求出點F的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x+10；（2）y=m+3（-2＜m＜4）；（3）存在，點F的坐標為(，0)或(-，0)或(-，0)

【解析】

（1）根據直線AB交x軸正半軸于點B，交y軸于點C，OB=OC，設出解析式為y=-x+n，把A的坐標代入求得n的值，從而求得B的坐標，再根據三角形的面積建立方程求出BD的值，求出OD的值，從而求出D點的坐標，直接根據待定系數法求出AD的解析式；

（2）先根據B、A的坐標求出直線AB的解析式，將P點的橫坐標代入直線AB的解析式，求出P的總坐標，將P點的總坐標代入直線AD的解析式就可以求出E的橫坐標，根據線段的和差關系就可以求出結論；

（3）要使△PEF為等腰直角三角形，分三種情況分別以點P、E、F為直角頂點，根據等腰直角三角形的性質求出（2）中m的值，就可以求出F點的坐標．

（1）∵OB=OC，

∴設直線AB的解析式為y=-x+n，

∵直線AB經過A（-2，6），

∴2+n=6，

∴n=4，

∴直線AB的解析式為y=-x+4，

∴B（4，0），

∴OB=4，

∵△ABD的面積為27，A（-2，6），

∴S△ABD=×BD×6=27，

∴BD=9，

∴OD=5，

∴D（-5，0），

設直線AD的解析式為y=ax+b，

∴，

解得．

∴直線AD的解析式為y=2x+10；

（2）∵點P在AB上，且橫坐標為m，

∴P（m，-m+4），

∵PE∥x軸，

∴E的縱坐標為-m+4，

代入y=2x+10得，-m+4=2x+10，

解得x=，

∴E（，-m+4），

∴PE的長y=m-=m+3；

即y=m+3，（-2＜m＜4），

（3）在x軸上存在點F，使△PEF為等腰直角三角形，

①當∠FPE=90°時，如圖①，

有PF=PE，PF=-m+4PE=m+3，

∴-m+4=m+3，

解得m=，此時F（，0）；

②當∠PEF=90°時，如圖②，有EP=EF，EF的長等于點E的縱坐標，

∴EF=-m+4，

∴∴-m+4=m+3，

解得：m=．

∴點E的橫坐標為x==-，

∴F（-，0）；

③當∠PFE=90°時，如圖③，有 FP=FE，

∴∠FPE=∠FEP．

∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°，

∴∠FPE=∠FEP=45°．

作FR⊥PE，點R為垂足，

∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°，

∴∠PFR=∠RPF，

∴FR=PR．

同理FR=ER，

∴FR=PE．

∵點R與點E的縱坐標相同，

∴FR=-m+4，

∴-m+4=（m+3），

解得：m=，

∴PR=FR=-m+4=-+4=，

∴點F的橫坐標為-=-，

∴F（-，0）．

綜上，在x軸上存在點F使△PEF為等腰直角三角形，點F的坐標為（，0）或（-，0）或（-，0）．