Question

【題目】如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點，是邊的中點，連接與相交于點，下列結論：；；；，其中正確的有__________（填序號）．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

只要證明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判斷①②③正確，作GM⊥BD于M，只要證明GH＜DG即可判斷④錯誤．

解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A＋∠ABE=90°，∠ABE＋∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中，
∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=CD，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC，故①正確．
∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC，
∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正確，
∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵∠BDF=∠BHG=90°，
∴∠BGH=∠BFD=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG=67.5°，
∴DG=DF，故③正確．
作GM⊥AB于M．如圖所示：
∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC，
∴GH=GM＜DG，
∴S△DGB＞S△GHB，
∵S△ABE=S△BCE，
∴S四邊形ADGE＜S四邊形GHCE．故④錯誤，
故答案為：①②③．