Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點P在AB上，點Q在DC的延長線上，連接DP，QP，且∠APD=∠QPD，PQ交BC于點G．

（1）求證：DQ=PQ；

（2）當tan∠APD=時，求：①CQ的長；②BG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①CQ=；②BG=．

【解析】

（1）根據正方形的性質得到AB∥CD，根據平行線的性質得到∠APD=∠QDP．等量代換得到∠QPD=∠QDP，根據等腰三角形的判定定理即可得到結論；

（2）①過Q作QE⊥PD于E，解直角三角形得到AP=1.5，根據勾股定理得到PD= ，DQ= ，于是得到結論；②根據相似三角形的性質列方程即可得到結論．

（1）證明：∵四邊形ABDF是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠APD=∠QDP．

∵∠APD=∠QPD，

∴∠QPD=∠QDP，

∴DQ=PQ；

（2）解：①過Q作QE⊥PD于E，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，

∵tan∠APD=，AD=2，

∴AP=1.5，

∴PD==，

∵DQ=PQ，

∴DE=PE=，

∵∠APD=∠QPD，

∴tan∠APD==tan∠QPD=，

∴QE=，

∴DQ==，

∴CQ=DQ-CD=；

②∵AB=2，AP=1.5，

∴PB=，

∵CQ∥PB，

∴△CQG∽△BPG，

∴=，

∴=，

∴BG=．

故答案為：（1）見解析；（2）①CQ=；②BG=．