Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，P為BA延長線上一點，點C在⊙O上，連接PC，D為半徑OA上一點，PD＝PC，連接CD并延長交⊙O于點E，且E是的中點．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）求證：CDDE＝2ODPD；

（3）若AB＝8，CDDE＝15，求PA的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接OC，OE，根據等腰三角形的性質得到∠E＝∠OCE，求得∠E+∠ODE＝90°，得到∠PCD＝∠ODE，得到OC⊥PC，于是得到結論；

（2）連接AC，BE，BC，根據相似三角形的性質得到，推出CDDE＝AO2﹣OD2；由△ACP∽△CBP，得到=，

得到PD2＝PD2+2PDOD+OD2﹣OA2，于是得到結論；

（3）由（2）知，CDDE＝AO2﹣OD2；把已知條件代入得到OD＝1（負值舍去），求得AD＝3，由（2）知，CDDE＝2ODPD，于是得到結論．

（1）證明：連接OC，OE，

∵OC＝OE，

∴∠E＝∠OCE，

∵E是的中點，

∴＝，

∴∠AOE＝∠BOE＝90°，

∴∠E+∠ODE＝90°，

∵PC＝PD，

∴∠PCD＝∠PDC，

∵∠PDC＝∠ODE，

∴∠PCD＝∠ODE，

∴∠PCD+∠OCD＝∠ODE+∠E＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切線；

（2）證明：連接AC，BE，BC，

∵∠ACD＝∠DBE，∠CAD＝∠DEB，

∴△ACD∽△EBD，

∴，

∴CDDE＝ADBD＝（AO﹣OD）（AO+OD）＝AO2﹣OD2；

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠PCO＝90°，

∴∠ACP+∠ACO＝∠ACO+∠BCO＝90°，

∴∠ACP＝∠BCO，

∵∠BCO＝∠CBO，

∴∠ACP＝∠PBC，

∵∠P＝∠P，

∴△ACP∽△CBP，

∴=

∴PC2＝PBPA＝（PD+DB）（PD﹣AD）＝（PD+OD+OA）（PD+OD﹣OA）＝（PD+OD）2﹣OA2＝PD2+2PDOD+OD2﹣OA2，

∵PC＝PD，

∴PD2＝PD2+2PDOD+OD2﹣OA2，

∴OA2﹣OD2＝2ODPD，

<>∴CDDE＝2ODPD；

（3）解：∵AB＝8，

∴OA＝4，

由（2）知，CDDE＝AO2﹣OD2；

∵CDDE＝15，

∴15＝42﹣OD2，

∴OD＝1（負值舍去），

∴AD＝3，

由（2）知，CDDE＝2ODPD，

∴PD＝＝，

∴PA＝PD﹣AD＝．