Question

【題目】已知，在中，為射線上一點，連接交于點.

（1）如圖1，若點與點重合，且，求的長；

（2）如圖2，當點在邊上時，過點作于，延長交于，連接.求證：．

（3）如圖3，當點在射線上運動時，過點作于為的中點，點在邊上且，已知，請直接寫出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）的最小值為．

【解析】

（1）如圖1中，利用等腰三角形的性質可得，利用平行四邊形的性質可得為中點，在中，由勾股定理可求得，則可求得，在中，再利用勾股定理可求得；

（2）如圖2中，在上截取，連接，可先證明，再證明，可證得結論；

（3）連接并延長到，使，連接，取的中點，連接，得到，于是得到點的軌跡是以為圓心，以為半徑的弧，且，求得最小值為6，根據三角形的中位線定理即可得到結論．

（1）

四邊形是平行四邊形，

當點與點重合時，

在中，

中，.

（2）證明：如圖2中，在上截取，連接，

，，

，

在和中，，

，

，，，

四邊形是平行四邊形，

，

，

，

，

在和中，，

，

，

，

；

解：連接并延長到，使，連接，取的中點，連接，作AK⊥BC，交BC延長線于點K，作QP⊥AD，交AD延長線于點P．

，

點的軌跡是以為圓心，以為半徑的弧，且，

根據△ABD為等腰直角三角形，可得AD=,

∴AO=，

根據△ABK為等腰直角三角形，可得AK=BK=4，可得QE=PE=4，

∴PQ=8，

∵BK=4,BN=1，

∴KN=5，

∴KE=AP=10，

∴OP=6，

，，

最小值為6，

是的中位線，

的最小值為3．