Question

【題目】如圖，已知拋物線，將拋物線沿軸翻折，得到拋物線．

（1）求出拋物線的函數表達式；

（2）現將拋物線向左平移個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為，與軸的交點從左到右依次為，；將拋物線向右也平移個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為，與軸交點從左到右依次為，．在平移過程中，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在．當時，以點，，，為頂點的四邊形是矩形．

【解析】

（1）拋物線翻折前后頂點關于x軸對稱，a互為相反數；

（2）連接AN，NE，EM，MA，M，N關于原點O對稱OM＝ON，A，E關于原點O對稱OA＝OE，判斷四邊形ANEM為平行四邊形；若AM2＋ME2＝AE2，解得m＝3，即可求解．

解：（1）∵拋物線的頂點為，

∴沿軸翻折后頂點的坐標為．

∴拋物線的函數表達式為．

（2）存在．

理由：連接，，，．依題意可得：，．

∴，關于原點對稱，∴．

原、拋物線與軸的兩個交點分別為，．

∴，，∴，關于原點對稱，∴．

∴四邊形為平行四邊形．

，

，

，

若，則，解得．

此時是直角三角形，且．

∴當時，以點，，，為頂點的四邊形是矩形．