Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（-2，0），B（1，0），交y軸于C（0，2）；
（1）求二次函數的解析式；
（2）連接AC，在直線AC上方的拋物線上是否存在點N，使△NAC的面積最大，若存在，求出這個最大值及此時點N的坐標，若不存在，說明理由．
（3）若點M在x軸上，是否存在點M，使以B、C、M為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由．
（4）若P為拋物線上一點，過P作PQ⊥BC于Q，在y軸左側的拋物線是否存在點P使△CPQ∽△BCO（點C與點B對應），若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數的解析式為：y=-x2-x+2；；（2）最大值為1，此時N（-1，2）；（3）M的坐標為（-1，0）或（1±，0）或（-，0）；（4）點P的坐標為：（-1，2）或（-，-）．

【解析】

（1）利用交點式求二次函數的解析式；

（2）求直線AC的解析式，作輔助線ND，根據拋物線的解析式表示N的坐標，根據直線AC的解析式表示D的坐標，表示ND的長，利用鉛直高度與水平寬度的積求三角形ANC的面積，根據二次函數的最值可得面積的最大值，并計算此時N的坐標；

（3）分三種情況：當B、C、M為頂點的三角形是等腰三角形時，分別以三邊為腰，畫圖形，求M的坐標即可；

（4）存在兩種情況：①如圖4，點P1與點C關于拋物線的對稱軸對稱時符合條件；

②如圖5，圖3中的M（-，0）時，MB=MC，設CM與拋物線交于點P2，則△CP2Q∽△BCO，P2為直線CM的拋物線的交點．

（1）∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（-2，0），B（1，0），

設二次函數的解析式為：y=a（x+2）（x-1），

把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），

a=-1，

∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，

∴二次函數的解析式為：y=-x2-x+2；

（2）如圖1，過N作ND∥y軸，交AC于D，設N（n，-n2-n+2），

設直線AC的解析式為：y=kx+b，

把A（-2，0）、C（0，2）代入得：，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=x+2，

∴D（n，n+2），

∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，

∴S△ANC=×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，

∴當n=-1時，△ANC的面積有最大值為1，此時N（-1，2），

（3）存在，分三種情況：

①如圖2，當BC=CM1時，M1（-1，0）；

②如圖2，由勾股定理得：BC=，

以B為圓心，以BC為半徑畫圓，交x軸于M2、M3，則BC=BM2=BM3=，

此時，M2（1-，0），M3（1+，0）；

③如圖3，作BC的中垂線，交x軸于M4，連接CM4，則CM4=BM4，

設OM4=x，則CM4=BM4=x+1，

由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，

解得：x=，

∵M4在x軸的負半軸上，

∴M4（-，0），

綜上所述，當B、C、M為頂點的三角形是等腰三角形時，M的坐標為（-1，0）或（1±，0）或（-，0）；

（4）存在兩種情況：

①如圖4，過C作x軸的平行線交拋物線于P1，過P1作P1Q⊥BC，

此時，△CP1Q∽△BCO，

∴點P1與點C關于拋物線的對稱軸對稱，

∴P1（-1，2），

②如圖5，由（3）知：當M（-，0）時，MB=MC，設CM與拋物線交于點P2，

過P2作P2Q⊥BC，此時，△CP2Q∽△BCO，

易得直線CM的解析式為：y=x+2，

則，

解得：P2（-，-），

綜上所述，點P的坐標為：（-1，2）或（-，-）．