Question

【題目】已知拋物線C1：y＝﹣x2+bx+3與x軸的一個交點為（1，0），頂點記為A，拋物線C2與拋物線C1關于y軸對稱．

（1）求拋物線C2的函數表達式；

（2）若拋物線C2與x軸正半軸的交點記作B，在x軸上是否存在一點P，使△PAB為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；(2) 點P坐標為（﹣5，0）或（3﹣4，0）或（3+4，0）或（﹣1，0）

【解析】

（1）把點（1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，解得b＝﹣2，所以拋物線C1：y＝﹣x2﹣2x+3，由拋物線C2與拋物線C1關于y軸對稱．所以拋物線C2的函數表達式y＝﹣（x﹣1）2+4；

（2）令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，所以B（3，0），OB＝3，A（﹣1，4），AB＝4，①當AP＝AB＝4時，PB＝8，P1（﹣5，0）②當BP＝AB＝4時，P2（3﹣4，0），P3（3+4，0）③當AP＝BP時，點P在AB垂直平分線上，PA＝PB＝4，P4（﹣1，0）．

解：（1）把點（1，0）代入y＝﹣x2+bx+3，

﹣1+b+3＝0，

解得b＝﹣2

∴拋物線C1：y＝﹣x2﹣2x+3，

∴拋物線C1頂點坐標A（﹣1，4），與y軸交點（0，3），

∵拋物線C2與拋物線C1關于y軸對稱．

∴拋物線C2的函數表達式y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；

（2）令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，

解得x＝﹣1或3，

∴B（3，0），OB＝3，

∵A（﹣1，4），

∴AB＝4，

①當AP＝AB＝4時，PB＝8，

∴P1（﹣5，0）

②當BP＝AB＝4時，

P2（3﹣4，0），P3（3+4，0）

③當AP＝BP時，點P在AB垂直平分線上，

∴PA＝PB＝4，

∴P4（﹣1，0）

綜上，點P坐標為（﹣5，0）或（3﹣4，0）或（3+4，0）或（﹣1，0）時，△PAB為等腰三角形．