Question

已知：如圖：AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分線AE交BC于點E，連接DE，
（1）在所給的圖中，用尺規作∠BAD的平分線AE（保留作圖痕跡不寫作法）．
（2）四邊形ABED是什么特殊四邊形？證明你的結論．

Answer 1

解：（1）如圖所示：
（2）四邊形ABED是菱形，
證明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB（兩直線平行，內錯角相等），
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD，
∴∠BAE=∠AEB（等量代換），
∴AB=EB（等角對等邊），
∵AD=AB，
∴AD=EB，
又∵AD∥CB，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∵AB=AD，
∴平行四邊形ABED是菱形．
分析：（1）根據作角平分線的基本作圖方法作圖即可；
（2）四邊形ABED是菱形，首先根據角平分線的性質和平行線的性質證明∠BAE=∠AEB，根據等角對等邊可證出AB=AE，再有條件AD=AB，可得AD=BE，從而可根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證出四邊形ABED是平行四邊形，再有AD=AB，可根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形證出四邊形ABED是菱形．
點評：此題主要考查了作角平分線的基本作圖，以及菱形的判定，解決問題的關鍵是正確作出圖形，熟練掌握菱形的判定方法：①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．