Question

（2012•常州）在平面直角坐標系xOy中，已知點P（3，0），⊙P是以點P為圓心，2為半徑的圓，若一次函數y=kx+b的圖象過點A（-1，0）且與⊙P相切，則k+b的值為

±

2 3

3

．

Answer 1

分析：根據題意畫出相應的圖形，如圖所示當直線AB與圓P相切，切點為B點且B在第一象限時，連接PB，由AB為圓P的切線，利用切線的性質得到AB垂直于BP，可得出三角形ABP為直角三角形，由A和P的坐標求出OA與OP的長，用OA+OP求出AP的長，可得出BP等于AP的一半，根據直角三角形中一直角邊等于斜邊的一半，可得出此直角邊所對的角為30°，得到∠BAP為30°，在直角三角形AOC中，由C的坐標求出OC的長，利用銳角三角函數定義表示出tan30°，將OA的值并利用特殊角的三角函數值化簡，求出OC的長，確定出C的坐標，設直線AC的解析式為y=kx+b，將A和C的坐標代入得到關于k與b的二元一次方程組，求出方程組的解得到k與b的值，進而求出k+b的值；當直線AB與圓P相切，B為切點，且B在第二象限時，同理求出k+b的值，綜上，得到滿足題意k+b的值．

解答：解：根據題意畫出相應的圖形，如圖所示：

當直線AB與圓P相切，設切點為B點，且切點B在第一象限時，
連接PB，由AB為圓P的切線，得到BP⊥AB，
又∵A（-1，0），P（3，0），
∴OA=1，OP=3，又BP=2，
則AP=OA+OP=1+3=4，
在Rt△ABP中，BP=

1

2

AP，
可得出∠BAP=30°，
在Rt△ACO中，OA=1，∠BAP=30°，
∴tan∠BAP=tan30°=

OC

OA

=OC，
∴OC=

3

3

，即C（0，

3

3

），
設直線AC的解析式為y=kx+b，將A和C的坐標代入得：

-k+b=0 b= 3 3

，
解得：

k= 3 3 b= 3 3

，
∴k+b=

2 3

3

；
當直線AB與圓P相切時，切點B在第四象限時，同理得到k=b=-

3

3

，
可得k+b=-

2 3

3

，
綜上，k+b=±

2 3

3

．
故答案為：±

2 3

3

．

點評：此題考查了切線的性質，含30°直角三角形的判定與性質，利用待定系數法求一次函數解析式，銳角三角函數定義，以及坐標與圖形性質，利用了數形結合及分類討論的思想，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．