Question

【題目】拋物線交軸于兩點，交軸于點，點為線段下方拋物線上一動點，連接．

（1）求拋物線解析式；

（2）在點移動過程中，的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積及點的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）設點為上不與端點重合的一動點，過點作線段的垂線，交拋物線于點，若與相似，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3），，

【解析】

（1）由題意設，結合拋物線，從而可得答案；

（2）過作軸，交于 設點的坐標為，表示的坐標，求解長度，利用可得答案；

（3）分情況討論：當時，過作交于，求解的坐標，利用函數的交點求解的坐標，當過點作，則有，利用二次函數的對稱性可得答案，當作的垂直平分線，交拋物線于點，則有，利用函數的交點求得的坐標．

解：（1） 點的坐標為，點的坐標為，

設拋物線的解析式為

，

拋物線解析式為：

（2）存在，理由如下：過作軸，交于

設點的坐標為，

拋物線解析式為：

點的坐標為，

設直線的解析式為：

解得：

直線的解析式為

故點的坐標為

故當時，有最大值為

此時點的坐標為

（3）點的坐標為；；；

理由如下：如圖4，，可得；

同上可知線段的解析式為，

過作交于，

直線，

直線的解析式為，

聯立方程組，

解得

解得點的坐標為，

故點關于的對稱點的坐標為，

點的坐標為，點的坐標為，

設直線的解析式為：，

解得：

直線的解析式為

將與聯立方程可得：

，解得（舍），，

故點的坐標為；

如圖5，過點作，

，

此時點關于拋物線的對稱軸對稱，

點的坐標為，故此時點的坐標為

如圖6，作的垂直平分線，交拋物線于點，

點的坐標為，點的坐標為，

中點的坐標為，

直線，并經過點，

設直線的解析式為:

直線的解析式為，

將與

聯立方程組可得

，

解得，（舍）

故點的坐標為

綜上可得點的坐標為：；；