Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，連接BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為線段BC上的一動點（不與B、C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當△BCM的面積最大時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，當△BCM的面積最大時，點D是拋物線的對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點E，使得以A、P、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3．（2）當t＝時，△BCM的面積最大．此時，點P的坐標為（，）．（3）存在點E使得以A、P、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，點E的坐標是或（）或（）．

【解析】

（1）由y＝ax2+bx+3經過點A、B、C，A（﹣1，0）、B（3，0），利用待定系數法即可求得此拋物線的解析式；

（2）設直線BC的解析式為y＝kx+b，由待定系數法即可求得直線BC的解析式，再設P（t，﹣t+3），即可得M點坐標為（t，﹣t2+2t+3），即可求得PM的長，由S△BCM＝S△PMC+S△PMB，即可得S△BMC＝﹣（t﹣）2+，利用二次函數的性質，即可求得當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；

(3)由于此題沒有說明四邊形的頂點順序故需分類討論：①當四邊形APDE為平行四邊形時，利用xA﹣xP＝xE﹣xD即可求出xE的值，代入二次函數解析式即可；②當四邊形APED為平行四邊形時，同理；③當四邊形ADPE為平行四邊形時，此時xA+xP＝xD+xE即可求出xE的值，代入二次函數解析式即可.

解：（1）依題意得：，

解得：，

拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）設直線BC的解析式為y＝kx+b，則，

解得：，直線BC的解析式為y＝﹣x+3，

設點P坐標為（t，﹣t+3），則M點坐標為（t，﹣t2+2t+3），

∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，

∴S△BCM＝S△PMC+S△PMB＝＝，

∴當t＝時，△BCM的面積最大．此時，點P的坐標為（，）．

（3））∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴對稱軸為直線x＝1，

當四邊形APDE為平行四邊形時，

AP∥ED，AP＝ED，

∵A（﹣1，0），P（），

∴xA﹣xP＝xE﹣xD＝﹣1﹣，

∵xD＝1，

∴xE＝﹣，

∴E（，）；

當四邊形APED為平行四邊形時，

AP∥DE，AP＝DE，

∴xA﹣xP＝xD﹣xE＝﹣1﹣，

∵xD＝1，

∴xE＝，

∴E（，﹣）；

當四邊形ADPE為平行四邊形時，

AE∥DP，AE＝DP，

∴xA+xP＝xD+xE＝﹣1+，

∵xD＝1，

∴xE＝﹣，

∴E（﹣，）；

存在點E使得以A、P、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，點E的坐標是（，）或（，﹣）或（﹣，）．