Question

【題目】如圖，A，B是直線y=x+4與坐標軸的交點，直線y=-2x+b過點B，與x軸交于點C．

（1）求A，B，C三點的坐標；

（2）點D是折線A—B—C上一動點．

①當點D是AB的中點時，在x軸上找一點E，使ED+EB的和最小，用直尺和圓規畫出點E的位置（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明），并求E點的坐標．

②是否存在點D，使△ACD為直角三角形，若存在，直接寫出D點的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）A(-4，0) ；B(0，4)；C(2，0)；（2）①點E的位置見解析，E（，0）；②D點的坐標為（-1，3）或（，）

【解析】

（1）先利用一次函數圖象上點的坐標特點求得點A、B的坐標；然后把B點坐標代入y=2x＋b求出b的值，確定此函數解析式，然后再求C點坐標；
（2）①根據軸對稱—最短路徑問題畫出點E的位置，由待定系數法確定直線DB1的解析式為y=3x4，易得點E的坐標；
②分兩種情況：當點D在AB上時，當點D在BC上時．當點D在AB上時，由等腰直角三角形的性質求得D點的坐標為（1，3）；當點D在BC上時，設AD交y軸于點F，證△AOF與△BOC全等，得OF=2，點F的坐標為（0，2），求得直線AD的解析式為，與y=2x＋4組成方程組，求得交點D的坐標為（，）．

（1）在y=x +4中，

令x =0，得y=4，

令y =0，得x=-4，

∴A(-4，0) ，B(0，4)

把B(0，4)代入y=-2x+b，得b =4，

∴直線BC為：y=-2x+4

在y=-2x +4中，

令y =0，得x=2，

∴C點的坐標為(2，0)；

（2）①如圖

∵點D是AB的中點

∴D（-2，2）

點B關于x軸的對稱點B1的坐標為（0，-4），

設直線DB1的解析式為，

把D（-2，2），B1（0，-4）代入，得，

解得k=-3，b=-4，

∴該直線為：y=-3x-4，

令y=0，得x=，

∴E點的坐標為（，0）．

②存在，D點的坐標為（-1，3）或（，）．

當點D在AB上時，

∵OA=OB=4，

∴∠BAC=45°，

∴△ACD是以∠ADC為直角的等腰直角三角形，

∴點D的橫坐標為，

當x=-1時，y=x+4=3，

∴D點的坐標為（-1，3）；

當點D在BC上時，如圖，設AD交y軸于點F．

∵∠FAO＋∠AFO＝∠CBO＋∠BFD，∠AFO＝∠BFD，

∴∠FAO=∠CBO，

又∵AO=BO，∠AOF=∠BOC，

∴△AOF≌△BOC（ASA）

∴OF=OC=2，

∴點F的坐標為（0，2），

設直線AD的解析式為，

將A（-4，0）與F（0，2）代入得，

解得，

∴，

聯立，解得：，

∴D的坐標為（，）．

綜上所述：D點的坐標為（-1，3）或（，）