Question

10．如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=8cm，直線CM⊥BC，動點D從點C開始沿射線CB方向以每秒2cm的速度運動，動點E也同時從點C開始在直線CM上以每秒1cm的速度運動，連接AD、AE，設運動時間為t（t＞0）秒．

（1）求AB的長；
（2）當t為多少時，△ABD為等腰三角形？
（3）當t為多少時，△ABD≌△ACE，并簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）運用勾股定理直接求出；
（2）首先求出△ABD中BD邊上的高，然后根據面積公式列出方程，求出BD的值，分兩種情況分別求出t的值；
（3）假設△ABD≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等得出BD=CE，分別用含t的代數式表示CE和BD，得到關于t的方程，從而求出t的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴2AB²=BC²，
∴AB=$\frac{BC}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$cm；
（2）如圖所示，

①當D在B點右側，且BD=AB，
∴BD=AB=4$\sqrt{2}$cm，
∴CD=BC-BD=8-4$\sqrt{2}$cm，
∴t=$\frac{8-4\sqrt{2}}{2}$=（4-2$\sqrt{2}$）s；
②當D在B點右側，且AD=BD，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴CD=BC=$\frac{1}{2}$BC=4cm，
∴t=$\frac{4}{2}$=2s；
③當D在B點左側，且BD=AB，
∴CD=BC+BD=8+4$\sqrt{2}$cm，
∴t=$\frac{8+4\sqrt{2}}{2}$=（4+2$\sqrt{2}$）s；
故當t為4±2$\sqrt{2}$或2s時，△ABD為等腰三角形．
（3）動點E從點C沿射線CM方向運動$\frac{8}{3}$秒或當動點E從點C沿射線CM的反向延長線方向運動8秒時，△ABD≌△ACE．
理由如下：（說理過程簡要說明即可）
①當E在射線CM上時，D必在CB上，則需BD=CE．
∵CE=t，BD=8-2t
∴t=8-2t，
∴t=$\frac{8}{3}$，
證明：在△ABD和△ACE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠ACE=45°}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②當E在CM的反向延長線上時，D必在CB延長線上，則需BD=CE．
∵CE=t，BD=2t-8，
∴t=2t-8，
∴t=8，
證明：在△ABD和△ACE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠ACE=135°}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．

點評 本題考查了等腰直角三角形、全等三角形的性質及面積，綜合性強，題目難度適中，解決本題的關鍵是利用分類討論的思想解決問題．