Question

【題目】如圖，過正方形ABCD頂點B，C的⊙O與AD相切于點P，與AB，CD分別相交于點E，F，連接EF．
（1）求證：PF平分∠BFD；
（2）若tan∠FBC= ，DF= ，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OP、BF、PF．

∵⊙O與AD相切于點P，

∴PO⊥AD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD⊥AD，

∴OP∥CD，

∴∠PFD=∠OPF，

∵OP=OF，

∴∠OPF=∠OFP，

∴∠OFP=∠PFD，

∴PF平分∠BFD

（2）解：∵∠C=90°，

∴BF是⊙O的直徑，

∴∠BEF=90°，

∴四邊形BCFE是矩形，

∴EF=BC，

∵tan∠FBC= ，設FC=3x，則BC=4x，

∵BC=DC，

∴4x=3x+ ，

∴x= ，

∴EF=BC=4 ．

【解析】（1）連接OP、BF、PF．由OP∥CD，推出∠PFD=∠OPF，由OP=OF，推出∠OPF=∠OFP，即可推出∠OFP=∠PFD．（2）首先證明四邊形BCFE是矩形，推出EF=BC，由tan∠FBC= ，設FC=3x，則BC=4x，由BC=DC，可得方程4x=3x+ ，解方程即可解決問題．