Question

【題目】探究：如圖1，在△ABC中，AB=AC，CF為AB邊上的高，點P為BC邊上任意一點，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為點D，E．求證：PD+PE=CF．

嘉嘉的證明思路：連結AP，借助△ABP與△ACP的面積和等于△ABC的面積來證明結論．

淇淇的證明思路：過點P作PG⊥CF于G，可證得PD=GF，PE=CG，則PD+PE=CF．

遷移：請參考嘉嘉或淇淇的證明思路，完成下面的問題：

（1）如圖2．當點P在BC延長線上時，其余條件不變，上面的結論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關系？請說明理由；

（2）當點P在CB延長線上時，其余條件不變，請直接寫出線段PD，PE和CF之間的數量關系．

運用：如圖3，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B處，點C落在點C′處．若點P為折痕EF上任一點，PG⊥BE于G，PH⊥BC于H，若AD=18，CF=5，直接寫出PG+PH的值．

Answer 1

【答案】（1）不成立，CF=PD-PE，理由見解析；（2）CF=PE-PD理由見解析；運用：PG+PH的值為12．

【解析】

（1）由三角形的面積和差關系可求解；

（2）由三角形的面積和差關系可求解；

（3）易證BE=BF，過點E作EQ⊥BF，垂足為Q，利用探究中的結論可得PG+PH=EQ，易證EQ=AB，BF=BE=DE=13，只需求出AB即可．

解：（1）不成立，CF=PD-PE

理由如下：

連接AP，如圖，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S△ABC=S△ABP-S△ACP，

∴ABCF=ABPD-ACPE．

∵AB=AC，

∴CF=PD-PE．

（2）CF=PE-PD

理由如下：

如圖，

∵S△ABC=S△ACP-S△ABP，

∴ABCF=ACPE-ABPD

∵AB=AC

∴CF=PE-PD

運用：過點E作EQ⊥BC，垂足為Q，如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠ABC=90°．

∵AD=18，CF=5，

∴BF=BC-CF=AD-CF=13．

由折疊可得：DE=BB，∠BEF=∠DEF．

∵AD∥BC

∴∠DEF=∠EFB

∴∠BEF=∠BFE

∴BE=BF=13=DE

∴AE=5

∵∠A=90°，

∴AB==12

∵EQ⊥BC，∠A=∠ABC=90°．

∴∠EQC=90°=∠A=∠ABC

∴四邊形EQBA是矩形．

∴EQ=AB=12．

由探究的結論可得：PG+PH=EQ．

∴PG+PH=12．

∴PG+PH的值為12．

故答案為：（1）不成立，CF=PD-PE，理由見解析；（2）CF=PE-PD理由見解析；運用：PG+PH的值為12．