Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE.

（1）求證：CE=AD；

（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明理由；

（3）若D為AB中點，則當=______時，四邊形BECD是正方形.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；(2)菱形；（3）當∠A=45°，四邊形BECD是正方形．

【解析】

(1)先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可；

(2)求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據菱形的判定推出即可；

(3)求出∠CDB=90°，再根據正方形的判定推出即可．

(1)∵DE⊥BC，

∴∠DFP=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠DFB=∠ACB，

∴DE//AC，

∵MN//AB，

∴四邊形ADEC為平行四邊形，

∴CE=AD；

(2)菱形，理由如下：

在直角三角形ABC中，

∵D為AB中點，

∴BD=AD，

∵CE=AD，

∴BD=CE，

∴MN//AB，

∴BECD是平行四邊形，

∵∠ACB=90°，D是AB中點，

∴BD=CD，（斜邊中線等于斜邊一半）

∴四邊形BECD是菱形；

(3)若D為AB中點，則當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，

理由：∵∠A=45°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=45°，

∵四邊形BECD是菱形，

∴DC=DB，

∴∠DBC=∠DCB=45°，

∴∠CDB=90°，

∵四邊形BECD是菱形，

∴四邊形BECD是正方形，

故答案為：45°.