【題目】如圖,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,點P為射線BD,CE的交點.
(1)問題提出:如圖1,若AD=AE,AB=AC.
①∠ABD與∠ACE的數量關系為 ;②∠BPC的度數為 .
(2)猜想論證:如圖2,若∠ADE=∠ABC=30°,則(1)中的結論是否成立?請說明理由.
(3)拓展延伸:在(1)的條件中,若AB=2,AD=1,若把△ADE繞點A旋轉,當∠EAC=90°時,直接寫出PB的長.
【答案】(1)①∠ABD=∠ACE,②90°;(2)(1)中結論成立,見解析;(3)PB的長為或
.
【解析】
(1)①依據等腰三角形的性質得到AB=AC,AD=AE,依據同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE,然后依據“SAS”可證明△ADB≌△AEC,最后,依據全等三角形的性質可得到∠ABD=∠ACE;
②由三角形內角和定理可求∠BPC的度數;
(2)先判斷出△ADB∽△AEC,即可得出結論;
(3)分為點E在AB上和點E在AB的延長線上兩種情況畫出圖形,然后再證明△PEB∽△AEC,最后依據相似三角形的性質進行證明即可.
(1)①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,
∴AB=AC,AD=AE,∠DAB=∠CAE.∠ABC=∠ACB=45°,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴∠ABD=∠ACE.
②∵∠BPC=180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP=180°﹣45°﹣(∠BCP+∠ACE),∴∠BPC=90°.
故答案為:∠ABD=∠ACE,90°.
(2)(1)中結論成立,理由如下:
在Rt△ABC中,∠ABC=30°,
∴ABAC.
在Rt△ADE中,∠ADE=30°,
∴ADAE,
∴.
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△ADB∽△AEC,
∴∠ABD=∠ACE;
∵∠BPC=180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP=180°﹣30°﹣(∠BCP+∠ACE),∴∠BPC=90°;
(3)①如圖,當點E在AB上時,BE=AB﹣AE=1.
∵∠EAC=90°,
∴CE.
同(1)可證△ADB≌△AEC,
∴∠DBA=∠ECA.
又∵∠PEB=∠AEC,
∴△PEB∽△AEC,
∴,
∴,
∴PB;
②如圖,當點E在BA延長線上時,BE=AB+AE=3.
∵∠EAC=90°,
∴CE.
同(1)可證△ADB≌△AEC,
∴∠DBA=∠ECA.
∵∠BEP=∠CEA,
∴△PEB∽△AEC,
∴,
∴,
∴PB.
綜上所述:PB的長為或
.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】新定義:到三角形的兩個頂點距離相等的點,叫做此三角形的準外心.根據準外心的定義,探究如下問題:如圖,在RtΔABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,如果準外心P在BC邊上,那么PC的長為 ________.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線 m,n 相交于 O,所夾的銳角是 53°,點 P,Q 分別是直線 m,n上的點,將直線 m,n 按照下面的程序操作,能使兩直線平行的是( )
A. 將直線 m 以點 O 為中心,順時針旋轉 53° B. 將直線 n 以點 Q 為中心,順時針旋轉 53°
C. 將直線 m 以點 P 為中心,順時針旋轉 53° D. 將直線 m 以點 P 為中心,順時針旋轉 127°
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某服裝店以每件40元的價格購進一批襯衫,在試銷過程中統計發現,每月的銷售量y(件)與銷售單價x(其中x為正整數,且50≤x≤75)(元)之間有下表關系:
銷售單價x(元) | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 |
每月銷售量y(件) | 160 | 140 | 120 | 100 | 80 | 60 |
(1)若y與x之間的函數關系是下列函數關系之一,則y是x的______
A.正比例函數 B.一次函數 C.反比例函數 D.二次函數
(2)求y與x的函數關系式;
(3)如果不考慮其它費用,該店銷售這種襯衫的月利潤為1600元,這種襯衫的銷售單價應定為多少元?
(4)如果每銷售一件襯衫需要支出各種費用2元,設服裝店每月銷售這種襯衫獲利為w元,銷售單價為多少元時,服裝店獲利w最大,最大利潤是多少?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】全民健身運動已成為一種時尚,為了了解我市居民健身運動的情況,某健身館的工作人員開展了一項問卷調查,問卷包括五個項目:A:健身房運動;B:跳廣場舞;C:參加暴走團;D:散布;E:不運動.
以下是根據調查結果繪制的統計圖表的一部分.
運動形式 | A | B | C | D | E |
人數 | 12 | 30 | m | 54 | 9 |
請你根據以上信息,回答下列問題:
(1)接受問卷調查的共有 人,圖表中的m= ,n= ;
(2)統計圖中,A類所對應的扇形圓心角的度數為 ;
(3)根據調查結果,我市市民最喜愛的運動方式是 ,不運動的市民所占的百分比是 ;
(4)我市碧沙崗公園是附近市民喜愛的運動場所之一,每晚都有“暴走團”活動,若最鄰近的某社區約有1500人,那么估計一下該社區參加碧沙崗“暴走團”的大約有多少人?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖, 已知菱形,
,點
是邊
延長線上一點, 連接
交
延長線于點
,連接
交
于點
,連接
交
、
于點
、
,設
,
.
(1)用含的代數式表示
;
(2)求關于
的函數解析式, 并寫出它的定義域;
(3)當與
相似時, 求
的值 .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】國家支持大學生創新辦實業,提供小額無息貸款,學生王亮享受國家政策貸款36000元用于代理某品牌服裝銷售,已知該店代理的品牌服裝的進價為每件40元,該品牌服裝售量y(件)與銷售價x(元/件)之間的關系可用圖中的一條線段(實線)來表示.
(1)求日銷售量y與銷售價x之間的函數關系式,并寫出x的取值范圍;
(2)該品牌服裝售價x為多少元時,每天的銷售利潤W最大,且最大銷售利潤W為多少?
(3)若該店應支付員工的工資為每人每天82元,每天還應支付其它費用為106元(不包含貸款).現該店只有2名員工,則該店至少需要多少天才能還清所有貸款?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某學校計劃開設四門選修課:樂器、舞蹈、繪畫、書法.為提前了解學生的選修情況,學校采取隨機抽樣的方法進行問卷調查(每個被調查的學生必須選擇而且只能選擇其中一門).對調查結果進行了整理,繪制成如下兩幅不完整的統計圖,請結合圖中所給信息解答下列問題:
(1)本次調查的學生共有 人,在扇形統計圖中,m的值是 ;
(2)將條形統計圖補充完整;
(3)在被調查的學生中,選修書法的有2名女同學,其余為男同學,現要從中隨機抽取2名同學代表學校參加某社區組織的書法活動,請直接寫出所抽取的2名同學恰好是1名男同學和1名女同學的概率.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知,點A為⊙0外一點,過A作⊙O的切線與⊙O相切于點P,連接PO并延長至圓上一點B連接AB交⊙O于點C,連接OA交⊙O于點D連接DP且∠OAP=∠DPA。
(1)求證:PO=PD
(2)若AC=,求⊙O的半徑。
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