Question

【題目】如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，點P為射線BD，CE的交點．

（1）問題提出：如圖1，若AD＝AE，AB＝AC．

①∠ABD與∠ACE的數量關系為　 　；②∠BPC的度數為　 　．

（2）猜想論證：如圖2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，則（1）中的結論是否成立？請說明理由．

（3）拓展延伸：在（1）的條件中，若AB＝2，AD＝1，若把△ADE繞點A旋轉，當∠EAC＝90°時，直接寫出PB的長．

Answer 1

【答案】（1）①∠ABD＝∠ACE，②90°；（2）（1）中結論成立，見解析；（3）PB的長為或.

【解析】

（1）①依據等腰三角形的性質得到AB=AC，AD=AE，依據同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依據“SAS”可證明△ADB≌△AEC，最后，依據全等三角形的性質可得到∠ABD=∠ACE；

②由三角形內角和定理可求∠BPC的度數；

（2）先判斷出△ADB∽△AEC，即可得出結論；

（3）分為點E在AB上和點E在AB的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△PEB∽△AEC，最后依據相似三角形的性質進行證明即可．

（1）①∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∠ABC=∠ACB=45°，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴∠ABD=∠ACE．

②∵∠BPC=180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP=180°﹣45°﹣（∠BCP+∠ACE），∴∠BPC=90°．

故答案為：∠ABD=∠ACE，90°．

（2）（1）中結論成立，理由如下：

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

∴ABAC．

在Rt△ADE中，∠ADE=30°，

∴ADAE，

∴．

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ADB∽△AEC，

∴∠ABD=∠ACE；

∵∠BPC=180°﹣∠ABD﹣∠ABC﹣∠BCP=180°﹣30°﹣（∠BCP+∠ACE），∴∠BPC=90°；

（3）①如圖，當點E在AB上時，BE=AB﹣AE=1．

∵∠EAC=90°，

∴CE．

同（1）可證△ADB≌△AEC，

∴∠DBA=∠ECA．

又∵∠PEB=∠AEC，

∴△PEB∽△AEC，

∴，

∴，

∴PB；

②如圖，當點E在BA延長線上時，BE=AB+AE=3．

∵∠EAC=90°，

∴CE．

同（1）可證△ADB≌△AEC，

∴∠DBA=∠ECA．

∵∠BEP=∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴，

∴，

∴PB．

綜上所述：PB的長為或．