Question

【題目】如圖，為的直徑，于點，是上一點，且，延長至點，連接，使，延長與交于點，連結，．

（1）連結，求證：；

（2）求證：是的切線；

（3）若，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據等邊對等角可得∠CDB=∠FBD，然后根據同弧所對的圓周角相等可得∠BCD=∠F，最后利用AAS即可證出結論；

（2）連接OC，根據圓周角定理和三角形外角的性質證出∠COB=∠CEB，然后根據等邊對等角、直角三角形的性質和等量代換即可求出∠OCP=90°，最后根據切線的判定定理即可證出結論；

（3）連接AC，先證出∠F=∠A=∠BCG，根據等角的正切值相等可得，設CG=2x，則AG=3x，BG=，然后根據題意列出方程即可求出CG、AG、BG、AB，然后根據垂徑定理求出DG，最后根據tan∠COB = tan∠CEB，即可求出結論．

解：（1）∵

∴∠CDB=∠FBD

∵

∴∠BCD=∠F

在△BCD和△DFB中

∴

（2）連接OC

∵∠COB=2∠CDB，∠CEB=∠EDB＋∠EBD=2∠EDB

∴∠COB=∠CEB

∵

∴∠PCE=∠CEB

∴∠COB=∠PCE

∵

∴∠OGC=90°

∴∠COB＋∠OCG=90°

∴∠PCE＋∠OCG=90°

∴∠OCP=90°

即OC⊥PC

∴是的切線；

（3）連接AC

∴∠ACB=90°，

∴∠A＋∠ACG=90°，∠BCG＋∠ACG=90°

∴∠A=∠BCG

∵

∴∠F=∠A=∠BCG

∴

設CG=2x，則AG=3x，BG=

∵

∴

∴CG=，AG=，BG=

∴AB=AG＋BG=，DG=CG=

∴OB=AB=

∴OG=OB－BG=

由（2）知∠COB=∠CEB

∴tan∠COB = tan∠CEB

∴

即

解得：GE=

∴ED=DG－GE=