Question

【題目】給出如下規定：對于平面直角坐標系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為N上任一點，如果P，Q兩點間的距離存在最小值時，就稱該最小值為兩個圖形M和N之間的“閉距離”；如果P，Q兩點間的距離存在最大值時，就稱該最大值為兩個圖形M和N之間的“開距離”．

請你在學習，理解上述定義的基礎上，解決下面問題：

在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣6，8），B（﹣6，﹣8），C（6，﹣8），D（6，8）．

（1）請在平面直角坐標系中畫出四邊形ABCD，線段AB和線段CD的“閉距離”為　 　；“開距離”為　 　；

（2）設直線y＝﹣x+b（b＞0）與x軸，y軸分別交于點E，F，若線段EF與四邊形ABCD的“閉距離”是2，求它們的“開距離”；

（3）⊙M的圓心為M（m，﹣6），半徑為1，若⊙M與△ABC的“閉距離”等于1，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）12，20；（2）2或2或2；（3）當m＝﹣8或6+或﹣4≤m≤6﹣3時，⊙M與△ABC的“閉距離”等于1．

【解析】

（1）由點的坐標畫出圖形，由“閉距離”和“開距離”的定義可求解；

（2）分四種情況討論，求出點E，點F坐標，即可解；

（3）分點M在y軸左側和右側討論，找到特殊點，即可求解．

解：（1）如圖所示：

∴線段AB和線段CD的“閉距離”為12，“開距離”＝，

故答案為：12，20；

（2）∵線段EF與四邊形ABCD的“閉距離”是2，

∴點E坐標為（4，0）或點E（8，0）或點F（0，6）或點F（0，10）

當點E坐標為（4，0）時，

∴0＝﹣×4+b，

∴b＝3，

∴點F（0，3），

∴線段EF與四邊形ABCD的“開距離”＝，

當點E坐標為（8，0）時，

∴0＝﹣×8+b，

∴b＝6，

∴點F（0，6），

∴線段EF與四邊形ABCD的“開距離”＝，

當點F坐標為（0，6）時，

∴b＝6，

∴y＝﹣x+6，

∴點E（8，0），

∴線段EF與四邊形ABCD的“開距離”＝，

當點F坐標為（0，10）時，

∴b＝10，

∴y＝﹣x+10，

∴點E（，0）

∴線段EF與四邊形ABCD的“開距離”＝，

（3）如圖，設直線y＝﹣6與AB交于點N，交AC于點E，

∵M（m，﹣6），半徑為1，

∴當點M在y軸左側時，MN＝2時，⊙M與△ABC的“閉距離”等于1，

∴m＝﹣8或﹣4，

當點M在y軸右側時，ME＝2時，⊙M與△ABC的“閉距離”等于1，

∴m＝6+或6﹣3，

∴當m＝﹣8或6+或﹣4≤m≤6﹣3時，⊙M與△ABC的“閉距離”等于1．