Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線分別與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，直線EF垂直平分線段BC，分別交BC于點E，y軸于點F，交x軸于D．

判定的形狀；

在線段BC下方的拋物線上有一點P，當面積最大時，求點P的坐標及面積的最大值；

如圖，過點E作軸于點H，將繞點E逆時針旋轉一個角度，的兩邊分別交線段BO，CO于點T，點K，當為等腰三角形時，求此時KT的值．

Answer 1

【答案】 △ABC為直角三角形； 當時，面積最大，最大面積為，此時； 當是等腰三角形時，KT的值為或．

【解析】

（1）結論：△ABC是直角三角形．求出A、B、C三點坐標，求出AC、BC、AB的長，利用勾股定理的逆定理證明即可．
（2）作P作PG∥y軸，交BC于G，先利用待定系數法求直線BC的解析式為：，設P（x，），則G（x，），根據三角形面積公式表示△BCP面積，配方可得結論；
（3）①如圖，當K與O重合，T與D重合時，△EKT的等腰三角形，求出KT即可解決問題．②如圖，當TE=KE時，作KN⊥CE于N，EQ⊥OC于Q，則四邊形OQEH是矩形，由△KEN≌△ETH，推出KN=EH=1，再想辦法求出OK，OT即可解決問題．

為直角三角形，理由如下：

當時，，

點C的坐標為；

當時，，

解得：，，

點A的坐標為，點B的坐標為．

，，．

，

為直角三角形．

如圖，過P作軸，交BC于G，

點B的坐標為，點C的坐標為，

易得直線BC的解析式為：，

設，則，

，

，

是直線BC下方拋物線上的點，

，

當時，面積最大，最大面積為，此時；

如下圖中，

在中，，

，

，

，，

，

，

當K與O重合，T與D重合時，是等腰三角形，

易知，

，

．

如圖，當時，作于N，于Q，則四邊形OQEH是矩形，

易知：，，

，，

，

，

，

，，

≌，

，

在中，易知，，

，

，

，，

，

．

綜上所述，當是等腰三角形時，KT的值為或．