Question

【題目】如圖，⊙O的直徑DF與弦AB交于點E，C為⊙O外一點，CB⊥AB，G是直線CD上一點，∠ADG＝∠ABD．

求證：ADCE＝DEDF；

說明：(1)如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路過程寫出來(要求至少寫3步)；

(2)在你經歷說明(1)的過程之后，可以從下列①、②、③中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明．

①∠CDB＝∠CEB；

②AD∥EC；

③∠DEC＝∠ADF，且∠CDE＝90°．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】

連接AF，由直徑所對的圓周角是直角、同弧所對的圓周角相等的性質，證得直線CD是⊙O的切線，若證ADCE＝DEDF，只要征得△ADF∽△DEC即可．在第一問中只能證得∠EDC＝∠DAF＝90°，所以在第二問中只要證得∠DEC＝∠ADF即可解答此題．

(1)連接AF，

∵DF是⊙O的直徑，

∴∠DAF＝90°，

∴∠F+∠ADF＝90°，

∵∠F＝∠ABD，∠ADG＝∠ABD，

∴∠F＝∠ADG，

∴∠ADF+∠ADG＝90°

∴直線CD是⊙O的切線

∴∠EDC＝90°，

∴∠EDC＝∠DAF＝90°；

(2)選取①完成證明

∵直線CD是⊙O的切線，

∴∠CDB＝∠A．

∵∠CDB＝∠CEB，

∴∠A＝∠CEB．

∴AD∥EC．

∴∠DEC＝∠ADF．

∵∠EDC＝∠DAF＝90°，

∴△ADF∽△DEC．

∴AD：DE＝DF：EC．

∴ADCE＝DEDF．