Question

【題目】如圖1，矩形中，，，以為直徑在矩形內作半圓．

（1）若點是半圓上一點，則點到的最小距離為________；

（2）如圖2，保持矩形固定不動，將半圓繞點順時針旋轉度，得到半圓，則當半圓與相切時，求旋轉角的度數；

（3）在旋轉過程中，當與邊有交點時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）過點作的垂線，交于點，交于點，時即為點到的最小距離．推出四邊形是矩形，即可求出點到的最小距離；

（2）設半圓與相切于點，連接，延長、交于點，證明，解得，根據中，，，即可求出旋轉角的度數；

（3）分別求出當點在上時和當與邊相切時的的值，即可求出的取值范圍．

(1)如圖1，過點作的垂線，交于點，交于點，

此時即為點到的最小距離．

∵四邊形是矩形，點在上，且，

∴四邊形是矩形，

∴，

∵，

∴．

故答案為：1.

（2）如圖2，設半圓與相切于點，連接，延長、交于點，

∴于點，，

∵，

∴，

∴，

∴，即，解得，

在中，，，

∴，

∴，即；

（3）當點在上時，如圖3，

∵，是半圓的直徑，

∴點在上，

∵在中，，， ，

∴由勾股定理得，

∴，

又∵當與邊相切時，，

∴此時，

∴當與邊有交點時，．