Question

16．如圖，在等腰直角△ABC中，AC=BC，AD⊥AB（點D在AB的右上方），E為AB邊上一點，且BE=4，DE=6，當CD平分∠ADE時，CE的長度為2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根據等腰直角三角形的性質得∠BAC=∠ABC=45°，則∠CAD=135°，可把△CAD繞點C逆時針90°得到△CBF，如圖，根據旋轉的性質得CF=CD，∠1=∠3，∠CBF=∠CAD=135°，則可判斷點F在AB的延長線上，由于∠1=∠2，則∠2=∠3，由CF=CD得∠3+∠5=∠2+∠4，所以∠5=∠4，則FE=DE=6，根據等腰三角形性質得CE平分∠DCF，所以∠ECF=45°，然后證明△EBC∽△ECF，于是利用相似比可計算出CE的長．

解答 解：∵在等腰直角△ABC中，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAE=90°，
∴∠CAD=135°，
把△CAD繞點C逆時針90°得到△CBF，如圖，則CF=CD，∠1=∠3，∠CBF=∠CAD=135°，
∵∠CBF+∠ABC=135°+45°=180°，
∴點F在AB的延長線上，
∵CD平分∠ADE，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∵CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF，即∠3+∠5=∠2+∠4，
∴∠5=∠4，
∴FE=DE=6，
∴CF為DF的垂直平分線，
∴CE平分∠DCF，
∴∠ECF=45°，
∵∠EBC=∠ECF，∠BEC=∠CEF，
∴△EBC∽△ECF，
∴CE：EF=BE：CE，即CE：6=4：CE，
∴CE=2$\sqrt{6}$．
故答案為2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質．解決本題的關鍵是利用旋轉把CE、BE、DE放在兩個相似三角形中，從而利用相似比計算CE的長．