Question

6．如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，AD=20cm，BD=16cm，BC=24cm，點E在邊AC上，且△ADE與△BCD相似．
（1）若AC=45cm，求AE的長；
（2）若△CDE的周長為75cm，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）由BC²=BD•BA，∠B=∠B，得到：△BCD∽△BAC，可得∠BCD=∠A．接下來分兩種情形，解決這個問題．
（2）充分利用兩個相似三角形對應邊成比例，解決問題．

解答 解：（1）∵BC=24，BD=16，AD=20，
∴BC²=BD•BA，
∴$\frac{BC}{BD}=\frac{BA}{BC}$，∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A
∵△ADE與△BCD相似，
情形①當∠AED=∠B，∵∠A=∠DCB，△ADE∽△BCD
∵∠AED=∠B，∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB，∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
即$\frac{20}{45}=\frac{AE}{36}$，
∴AE=16，
情形②的當∠ADE=∠B時，△ADE∽△CBD，
∴DE∥BC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
即$\frac{20}{36}=\frac{AE}{45}$，
∴AE=25，
綜上所述：AE的長是16或25；
（2）①如圖當△ADE2∽△CBD時，∵∠ADE=∠B，∴$\frac{AD}{DB}=\frac{AE2}{E2C}=\frac{20}{16}=\frac{5}{4}$，
設AE2=5K，E2C=4K，由$△BCD∽△BAC得到：\frac{DC}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$，∴DC=6K，
∵$\frac{DE2}{BC}=\frac{AD}{AB}，得到：DE2=\frac{40}{3}$，
∵DE2+E2C+CD=75，
∴6K+4K+$\frac{40}{3}=75$，
∴K=$\frac{37}{6}$，AC=9K=$\frac{111}{2}$
②如圖當△ADE1∽△CDB時，∵∠A=∠A，∠AE1D=∠B，∴△ADE1∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE1}{AB}$，由②可知：CD：AC=2：3，設CD=2K，AC=3K，
則易知：AE1=$\frac{240}{K}$，CE1=3K-$\frac{240}{K}$，由：$\frac{AD}{AC}=\frac{DE1}{BC}，得到：DE1=\frac{160}{K}$，
∵DE1+E1C+CD=75，
∴$\frac{160}{K}+2k+3K-\frac{240}{K}=75$，
整理得到：K²-15K-16=0，
K1=16，（K2=-1舍棄），
∴AC=3K=48．

點評 本題目考查了相似三角形的性質和判斷，由數量關系得到相似關系，是數形結合的好題目．同時考查了分類思想，培養嚴謹的數學思考習慣．