Question

12．已知拋物線y=-x²+2x+m．
（1）如果拋物線過點A（3，0），與y軸交于點B，求拋物線的解析式及點B、C的坐標；
（2）如圖，直線AB與這條拋物線的對稱軸交于點P，求直線AB的表達式和點P的坐標．
（3）該拋物線有一點D（x，y），使得S_△ABC=S_△ACD，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）代入A點的坐標求得m的值即可求得解析式，分別令x=0和y=0，列出方程，解方程即可求得B、C的坐標；
（2）根據待定系數法求得直線AB的解析式，求得拋物線的對稱軸x=1，把x=1代入直線的解析式即可求得P的坐標；
（3）根據面積相等且底邊相等的三角形的高也應該相等得出D的縱坐標為±3，代入拋物線的解析式即可求得．

解答 解：（1）∵拋物線過點A（3，0），
∴0=-9+6+m，
解得m=3，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
令y=0，則，-x²+2x+3=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
∴C（-1，0），
令x=0，得y=3，
∴B（0，3）；
（2）∵A（3，0），B（0，3），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+3，
∵拋物線y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴對稱軸x=1，
把x=1代入y=-x+3得y=2，
∴P（1，2）；
（3）根據題意得D的縱坐標為±3，
把y=3代入y=-x²+2x+3得，-x²+2x+3=3，
解得x=0或2，
把y=-3代入y=-x²+2x+3得，-x²+2x+3=-3，
解得x=1$±\sqrt{7}$，
∴D的坐標為（2，3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）或（1+$\sqrt{7}$，-3）．

點評 本題考查了待定系數法求一次函數的解析式和二次函數的解析式，一次函數和二次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．