Question

【題目】實驗探究：

如圖，和是有公共頂點的等腰直角三角形，，交于、點．

（問題發現）

（1）把繞點旋轉到圖，、的關系是_________（“相等”或“不相等”），請直接寫出答案；

（類比探究）

（2）若，，把繞點旋轉，當時，在圖中作出旋轉后的圖形，并求出此時的長；

（拓展延伸）

（3）在（2）的條件下，請直接寫出旋轉過程中線段的最小值為_________．

Answer 1

【答案】（1）相等；（2）或；（3）1．

【解析】

（1）依據△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，即可BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，進而得到△ABD≌△ACE，可得出BD=CE；
（2）分兩種情況：依據∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，可得△PCD∽△ACE，即可得到，進而得到PD=；依據∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，可得△BAD∽△BPE，即可得到，進而得出PB=，PD=BD+PB=；
（3）以A為圓心，AC長為半徑畫圓，當CE在⊙A下方與⊙A相切時，PD的值最小．

（1）∵△ABC和△ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴BA=CA，DA=EA，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
故答案為：相等．
（2）作出旋轉后的圖形，若點C在AD上，如圖2所示：

∵∠EAC=90°，
∴CE=，
∵∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，
∴△PCD∽△ACE，
∴，即
∴PD=
若點B在AE上，如圖2所示：

∵∠BAD=90°，
∴Rt△ABD中，，BE=AEAB=2，
∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，
∴△BAD∽△BPE，
∴，即，
解得PB=，
∴PD=BD+PB=，
綜上可得，PD的長為或．
（2）如圖3所示，以A為圓心，AC長為半徑畫圓，當CE在⊙A下方與⊙A相切時，PD的值最小

在Rt△PED中，PD=DEsin∠PED，因此銳角∠PED的大小直接決定了PD的大�。�
當小三角形旋轉到圖中△ACB的位置時，
在Rt△ACE中，CE=，
在Rt△DAE中，DE=，
∵四邊形ACPB是正方形，
∴PC=AB=3，
∴PE=3+4=7，
在Rt△PDE中，PD=，
即旋轉過程中線段PD的最小值為1．