Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以A B為邊在第二象限內作正方形ABCD．

（1）求點A、B的坐標，并求邊AB的長；

（2）求點D的坐標；

（3）在x軸上找一點M，使△MDB的周長最小，請求出M點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（－6，4）；（3）M（－2，0）

【解析】

（1）由題意將y=0和x=0分別代入即可求出點A、B的坐標，進而求出邊AB的長；

（2）根據題意作DH⊥軸于H，并利用全等三角形的判定與性質求得△DAH≌△ABO，進而得出DH和OH的值即可；

（3）根據題意作D點關于軸的對稱點為E，并連接BE交x軸于點M，△MDB的周長為,有為定值，只需滿足的值最小即可，將進行轉化，根據兩點間線段最短即可知道此時的M即為所求，解出直線BE的解析式即可得到M點的坐標．

解：（1）由題意直線y=x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，將y=0和x=0分別代入即可求出點A、B的坐標為：A（－4，0），B（0，2），

所以AB＝.

（2）作DH⊥軸于H，

由于∠DHA＝∠BAD＝90°，

∠DAH＋∠BAO=90°，

∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠DAH＝∠ABO，

又DA＝AB，

∴△DAH≌△ABO（AAS），

則DH＝OA＝4，AH＝OB＝2，OH=4+2=6,

∵點D的坐標在第二象限，

∴D（－6，4）.

（3）作D點關于軸的對稱點為E，并連接BE交x軸于點M，

根據軸對稱的性質可知，E（－6，－4），

△MDB的周長為：,有為定值，只需滿足的值最小即可，

將進行轉化，根據兩點間線段最短即可知道此時的M即為所求，

利用待定系數法求得直線BE的解析式為，

直線與軸的交點坐標為（－2，0），

故M（－2，0）．