Question

【題目】如圖，在中，，，，半徑為2的從點開始（如圖①）沿直線向右滾動，滾動時始終與直線相切（切點為），當與只有一個公共點時滾動停止．作于點．

（1）圖①中，在邊上截得的弦長______；

（2）當圓心落在上時，如圖②，判斷與的位置關系，請說明理由；

（3）在滾動過程中，線段的長度隨之變化，設，，求出與之間的函數關系式，并直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）與相切，詳見解析；（3）

【解析】

（1）要求的長度，需做輔助線構造，由圓的半徑相等、與圓相切及特殊角，利用等量代換將所求線段轉化為已知線段求解；

（2）猜想與相切，但未知切點，常用方法為作垂線，證半徑，結合直角三角形中角所對的邊等于斜邊的一半求解；

（3）線段之間的函數關系式，一般為一次函數，分三種情況討論：點在左側；點在上；點在右側三種情況，構造直角三角形，利用三角函數及切線性質求解．

解：（1）連接，，如解圖①，，，

∵，∴，∴為等邊三角形，∴．

圖①

（2）與相切；

理由如下：過點作于點，連接，如解圖②，

圖②

∵與相切于點，∴，

在中，，∴，

又∵，∴，在中，，

∴，在中，，

∴，即為的半徑，∴與相切；

（3）當點在上時，，；

當點在點左側時，連接交于點，如解圖③，

圖③

∵與相切于點，∴，

又∵，∴，

在中，，

∴，∴，

∴在中，，

此時的取值范圍是：；

當點在點的右側時，連接并延長交于點，如解圖④，

圖④

同理可得：，∴，

∵，∴，

∵，∴，∴，

在中，

，

此時的取值范圍是：．

綜上，與之間的函數關系式為．