Question

【題目】（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，求證：∠ACD=∠B；

（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分別在AC，AB上，且∠ADE=∠B，判斷△ADE的形狀？并說明理由？

（3）如圖③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，點C，B，E在同一直線上，若AB⊥BD，AB=BD，則CE與AC，DE有什么等量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）直角三角形（3）CE=AC+DE

【解析】

（1）根據直角三角形的性質得出∠ACD+∠A=∠B+∠DCB=90°，再解答即可；（2）根據直角三角形的性質得出∠ADE+∠A=∠A+∠B=90°，再解答即可；（3）由AB⊥BD可得∠DBE+∠ABC=90°，進而可證明∠A=∠DBE，利用AAS可證明△ABC≌△BDE，即可證明BC=DE，AC=BE，從而可證明CE=AC+DE.

（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠A+∠B =90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD+∠A=90°，

∴∠ACD=∠B.

（2）△ADE是直角三角形，理由如下：

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠A+∠B =90°，

∵∠ADE=∠B，

∴∠A+∠ADE=90°，

∴∠AED=90°，即△ADE得直角三角形.

（3）CE=AC+DE，證明如下：

∵點C、B、E在同一直線上，AB⊥BD，

∴∠DBE+∠ABC=90°，

∵∠A+∠ABC=90°，

∴∠A=∠DBE

∵∠C=∠E=90°，AB=BD，∠A=∠DBE，

∴△ABC≌△BDE，

∴BC=DE，AC=BE，

∴CE=CB+BE=DE+AC.