Question

【題目】如圖，將邊長為8的等邊置于平面直角坐標系中，點在軸正半軸上，過點作于點，將繞著原點逆時針旋轉得到，這時，點恰好落在軸上.若動點從原點出發，沿線段向終點運動，動點從點出發，沿線段向終點運動，兩點同時出發，速度均為每秒1個單位長度.設運動的時間為秒．

（1）請直接寫出點、點的坐標；

（2）當的面積為時，求的值；

（3）設與相交于點，當為何值時， 與相似？

Answer 1

【答案】（1）, ；（2）；（3）當秒或秒時， 與相似．

【解析】試題分析：（1）根據等邊三角形的性質可直接得出A點坐標；再由OC⊥AB可得出OC的長，根據圖形旋轉不變性的性質可得出OD的長，進而得出D點坐標；

（2）過點E作EG⊥OD于點G，根據等邊三角形的性質可知OC平分∠AOB，再根據銳角三角函數的定義求出EG的長，S△OEF=OFEG，OF=OD﹣DF=﹣t即可得出t的值；

（3）由于∠BOD=∠FOP，△OPF∽△ODB和△OPF∽△OBD兩種情況進行討論．

試題解析：解：（1）∵等邊△AOB的邊長為8，點A在x軸正半軸上，∴A（8，0），∵OC⊥AB，∴∠AOC=30°，∴OC=OAcos30°=8×=，∵△OAC旋轉后OC與OD重合，∴D（0， ）；

（2）過點E作EG⊥OD于點G，如圖①所示：

∵△OAB為等邊三角形，OC⊥AB，∴OC平分∠AOB，∴∠AOC=30°，∴∠EOG=90°﹣30°=60°，∴EG=OEsin∠EOG=t，又∵S△OEF=OFEG，OF=OD﹣DF=﹣t，由題意可得： （﹣t）t=，解得t=±3；

（3）因為∠BOD=∠FOP，所以應分兩種情況討論：

①當∠FPO=∠BDO=90°時，如圖②，∵△OPF∽△ODB，此時OE=OF，∴t=﹣t，解得：t=；

②當∠OFP=∠ODB=90°時，如圖③，∵△OPF∽△OBD，∴OF=OE，即（﹣t）=t，解得：t=．

綜上所述，當t=秒或t=秒時，△OPF與△OBD相似．