Question

如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，交BA的延長線于點D，取CD的中點E，AE的延長線與BC的延長線交于點P．

（1）求證：AP是⊙O的切線；

（2）OC=CP，AB=6，求CD的長．

Answer 1

【考點】切線的判定與性質；解直角三角形．

【分析】（1）連接AO，AC（如圖）．欲證AP是⊙O的切線，只需證明OA⊥AP即可；

（2）利用（1）中切線的性質在Rt△OAP中利用邊角關系求得∠ACO=60°．然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函數的定義知AC=2，CD=4．

【解答】（1）證明：連接AO，AC（如圖）．

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC=∠CAD=90°．

∵E是CD的中點，

∴CE=DE=AE．

∴∠ECA=∠EAC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵CD是⊙O的切線，

∴CD⊥OC．

∴∠ECA+∠OCA=90°．

∴∠EAC+∠OAC=90°．

∴OA⊥AP．

∵A是⊙O上一點，

∴AP是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知OA⊥AP．

在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，

∴sinP==，

∴∠P=30°．

∴∠AOP=60°．

∵OC=OA，

∴∠ACO=60°．

在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，

∴AC==2，

又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°，

∴CD===4．

【點評】本題考查了切線的判定與性質、解直角三角形．注意，切線的定義的運用，解題的關鍵是熟記特殊角的銳角三角函數值．