Question

【題目】如圖所示，是一塊銳角三角形余料，邊毫米，高毫米，要把它加工成一個矩形零件，使矩形的一邊在上，其余兩個頂點分別在，上，設該矩形的長毫米，寬毫米.

（1）求證：；

（2）當與分別取什么值時，矩形的面積最大？最大面積是多少？

（3）當矩形的面積最大時，它的長和寬是關于的一元二次方程的兩個根，而，的值又恰好分別是，10，12，13，這5個數據的眾數與平均數，試求與的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當毫米，毫米時，矩形面積最大，最大面積為2400平方毫米；（3）a=10，b=15或a=15，b=10.

【解析】

（1）易證△APN∽△ABC，根據相似三角形對應邊的比等于對應高的比，即可求解；
（2）矩形PQMN的面積S=xy，根據（1）中y與x的函數關系式，即可得到S與x之間的函數關系，根據函數的性質即可求解；
（3）根據（2）中求得的長與寬的數值，利用根與系數的關系即可求得p，q的數值，根據眾數與中位數的定義即可求得a與b的值．

（1）證明：根據已知條件易知：PN∥BC，AE⊥PN，PN=QM=y，DE=MN=x，

∴，

∴，即，

∴，；

（2）解：設矩形PQMN的面積為S，則

，，

∴當時，有最大值2400，

此時，故當毫米，毫米時，矩形面積最大，最大面積為2400平方毫米；

（3）解：由根與系數的關系，得，解得，

∵，10，12，13，眾數為10，

∴或，

當時，有，解得 ，

當時，同理可得.