Question

【題目】如圖，四邊形是的內接正方形，，、是的兩 條切線，、為切點.

（1）如圖1，求的半徑；

（2）如圖1，若點是的中點，連結，求的長度；

（3）如圖2，若點是邊上任意一點（不含、），以點為直角頂點，在的上方作，交直線于點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）利用切線的性質以及正方形的判定與性質得出⊙O的半徑即可；
（2）利用垂徑定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，進而利用勾股定理得出即可；
（3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判定與性質得出即可．

解：（1）如圖1，連接OD，OC，

∵PC、PD是⊙O的兩條切線，C、D為切點，
∴∠ODP=∠OCP=90°，
∵四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，
∴∠DOC=90°，OD=OC，
∴四邊形DOCP是正方形，
∵AB=4，∠ODC=∠OCD=45°，
∴DO=CO=DCsin45°= ×4=2 ；
（2）如圖1，連接EO，OP，
∵點E是BC的中點，
∴OE⊥BC，∠OCE=45°，
則∠E0P=90°，
∴EO=EC=2，OP=CO=4，
∴PE=；

（3）證明：如圖2，在AB上截取BF=BM，

∵AB=BC，BF=BM，
∴AF=MC，∠BFM=∠BMF=45°，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMF+∠NMC=45°，∠FAM+∠AMF=45°，
∴∠FAM=∠NMC，
∵由（1）得：PD=PC，∠DPC=90°，
∴∠DCP=45°，
∴∠MCN=135°，
∵∠AFM=180°-∠BFM=135°，
在△AFM和△CMN中

∴△AFM≌△CMN（ASA），
∴AM=MN．