
解:(1)∵對稱軸平行于y軸的拋物線的頂點是A(2,0),
∴設該拋物線的解析式為y=a(x-2)
2.
又∵該拋物線經過點B(0,1),
∴1=a(0-2)
2,
解得,a=

.
∴該拋物線的解析式為:y=

(x-2)
2(或y=

x
2-

x+1);
(2)假設在拋物線上存在一點P,使以BP為直徑的圓經過拋物線的頂點A,其坐標為P(x,y).
如圖,過點P作PD⊥⊥x軸于D,連接AB、AP.

根據題意知,點A是以BP為直徑的圓上的一點,則∠BAP=90°(直徑所對的圓周角是直角).
則易證△AOB∽△PDA,
∴

=

,即

=

,
∴y=2x-4;
又∵點P是拋物線y=

(x-2)
2上的一點,
∴

,解得

或

,即點P(2,0)或(10,16).
①當點P的坐標是(2,0),點P與點A重合,此時該圓的直徑AB=

=

;
②當點P的坐標是(10,16),此時該圓的直徑BP=

=5

;
(3)如圖2,由(2)知,當點P的坐標是(10,16)時,點A、B、P能構成直角三角形.
由B(0,1),P(10,16)可知,BP=直線BP的解析式為:y=

x+1,即3x-2y+2=0.
設M(a,

a
2-

a+1)(2<a<16).則點M到直線的距離d=

=

.
所以S
△BPM=

BP•d=

×5

×

=

|(a-4)
2-12|,則當a=4時,S
△BPM最大=

×12=15,即△BMP面積最大值是15.
分析:(1)此題已知該拋物線的頂點坐標和拋物線上另一點的坐標,故可設頂點式解析式,利用待定系數法求該拋物線的解析式;
(2)假設存在,設出P點,作PD⊥x軸于D,連接AB、AP,可證三角形相似,根據相似比例,求出P點;
(3)根據點B、P的坐標求得直線BP的直線方程,然后由二次函數圖象上點的坐標特征可以設M(a,

a
2-

a+1)(2<a<16).最后由點到直線的距離求得點M到直線BP的距離d=

,將其代入三角形的面積公式,利用二次函數的最值的求法求得△BMP面積最大值.
點評:此題還是考拋物線的性質和頂點坐標,第二問探究存在性問題,充分利用圓和梯形的性質,綜合性性較強,第三問利用第二問的結論,要看清題意.