Question

已知對稱軸平行于y軸的拋物線經過點B（0，1），頂點是A（2，0），
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在一點P，使以BP為直徑的圓經過拋物線的頂點A？若不存在說明理由；若存在，求出符合條件的圓的直徑長度；
（3）對于（2）中的點P，當△ABP能構成時，點M是拋物線上A、P之間的動點，求△BMP面積最大值．

Answer 1

分析：（1）此題已知該拋物線的頂點坐標和拋物線上另一點的坐標，故可設頂點式解析式，利用待定系數法求該拋物線的解析式；
（2）假設存在，設出P點，作PD⊥x軸于D，連接AB、AP，可證三角形相似，根據相似比例，求出P點；
（3）根據點B、P的坐標求得直線BP的直線方程，然后由二次函數圖象上點的坐標特征可以設M（a，

1

4

a²-

1

2

a+1）（2＜a＜16）．最后由點到直線的距離求得點M到直線BP的距離d=

|a2-8a+4|

2 13

，將其代入三角形的面積公式，利用二次函數的最值的求法求得△BMP面積最大值．

解答：解：（1）∵對稱軸平行于y軸的拋物線的頂點是A（2，0），
∴設該拋物線的解析式為y=a（x-2）²．
又∵該拋物線經過點B（0，1），
∴1=a（0-2）²，
解得，a=

1

4

．
∴該拋物線的解析式為：y=

1

4

（x-2）²（或y=

1

4

x²-x+1）；

（2）假設在拋物線上存在一點P，使以BP為直徑的圓經過拋物線的頂點A，其坐標為P（x，y）．
如圖，過點P作PD⊥⊥x軸于D，連接AB、AP．
根據題意知，點A是以BP為直徑的圓上的一點，則∠BAP=90°（直徑所對的圓周角是直角）．
則易證△AOB∽△PDA，
∴

OB

AD

=

OA

PD

，即

1

x-2

=

2

y

，
∴y=2x-4；
又∵點P是拋物線y=

1

4

（x-2）²上的一點，
∴

y=2x-4 y= 1 4 (x-2)2

，解得

x=2 y=0

或

x=10 y=16

，即點P（2，0）或（10，16）．
①當點P的坐標是（2，0），點P與點A重合，此時該圓的直徑AB=

12+22

=

5

；
②當點P的坐標是（10，16），此時該圓的直徑BP=

(10-0)2+(16-1)2

=5

13

；

（3）如圖2，由（2）知，當點P的坐標是（10，16）時，點A、B、P能構成直角三角形．
由B（0，1），P（10，16）可知，BP=直線BP的解析式為：y=

3

2

x+1，即3x-2y+2=0．
設M（a，

1

4

a²-

1

2

a+1）（2＜a＜16）．則點M到直線的距離d=

|3a-2( 1 4 a2- 1 2 a+1)|

32+(-2)2

=

|a2-8a+4|

2 13

．
所以S_△BPM=

1

2

BP•d=

1

2

×5

13

×

|a2-8a+4|

2 13

=

5

4

|（a-4）²-12|，則當a=4時，S_△BPM最大=

5

4

×12=15，即△BMP面積最大值是15．

點評：此題還是考拋物線的性質和頂點坐標，第二問探究存在性問題，充分利用圓和梯形的性質，綜合性性較強，第三問利用第二問的結論，要看清題意．