Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，G為BC邊上一點，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，連接DE．

（1）求證：△ABE≌△DAF；
（2）若AF=1，四邊形ABED的面積為6，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵DF⊥AG，BE⊥AG，

∴∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS）．

（2）解：設EF=x，則AE=DF=x+1，

由題意2× ×（x+1）×1+ ×x×（x+1）=6，

解得x=2或﹣5（舍棄），

∴EF=2．

【解析】（1）根據正方形的性質得出AB=AD，又根據垂直的定義及同角的余角相等得出∠BAE=∠ADF。然后根據AAS判斷出△ABE≌△DAF；
（2）根據全等三角形對應邊相等得出AE=DF，設EF=x，則AE=DF=x+1，根據四邊形ABED的面積=S△ABE+S△AFD+S△DEF列出方程求解即可。
【考點精析】利用正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．