Question

【題目】已知，是等邊三角形，是直線上一點，以為頂點做 ． 交過且平行于的直線于，求證：；當為的中點時，（如圖1）小明同學很快就證明了結論：他的做法是：取的中點，連結，然后證明． 從而得到，我們繼續來研究：

（1）如圖2、當D是BC上的任意一點時，求證：

（2）如圖3、當D在BC的延長線上時，求證：

（3）當在的延長線上時，請利用圖4畫出圖形，并說明上面的結論是否成立（不必證明）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（4）見解析，，仍成立

【解析】

（1）在AB上截取AF=DC，連接FD，證明△BDF是等邊三角形，得出∠BFD=60°，證出∠FAD=∠CDE，由ASA證明△AFD≌△DCE，即可得出結論；

（2）在BA的延長線上截取AF=DC，連接FD，證明△BDF是等邊三角形得出∠F=60°，證出∠FAD=∠CDE，由ASA證明△AFD≌△DCE，即可得出結論；

（3）在AB的延長線上截取AF=DC，連接FD，證明△BDF是等邊三角形，得出∠BFD=60°，證出∠FAD=∠CDE，由ASA證明△AFD≌△DCE，即可得出結論．

（1）證明：在AB上截取AF=DC，連接FD，如圖所示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠B=60°，

又∵AF=DC，

∴BF=BD，

∴△BDF是等邊三角形，

∴∠BFD=60°，

∴∠AFD=120°，

又∵AB∥CE，

∴∠DCE=120°=∠AFD，

而∠EDC+∠ADE=∠ADC=∠FAD+∠B∠ADE=∠B=60°，

∴∠FAD=∠CDE，

在△AFD和△DCE中

，

∴△AFD≌△DCE（ASA），

∴AD=DE；

（2）證明：在BA的延長線上截取AF=DC，連接FD，如圖所示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠B=60°，

又∵AF=DC，

∴BF=BD，

∴△BDF是等邊三角形，

∴∠F=60°，

又∵AB∥CE，

∴∠DCE=60°=∠F，

而∠FAD=∠B+∠ADB，∠CDE=∠ADE+∠ADB，

又∵∠ADE=∠B=60°，

∴∠FAD=∠CDE，

在△AFD和△DCE中，

，

∴△AFD≌△DCE（ASA），

∴AD=DE；

（3）解：AD=DE仍成立．理由如下：

在AB的延長線上截取AF=DC，連接FD，如圖所示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABC=60°，

∴∠FAD+∠ADB=60°，

又∵AF=DC，

∴BF=BD，

∵∠DBF=∠ABC=60°，

∴△BDF是等邊三角形，

∴∠AFD=60°，

又∵AB∥CE，

∴∠DCE=∠ABC=60°，

∴∠AFD=∠DCE，

∵∠ADE=∠CDE+∠ADB=60°，

∴∠FAD=∠CDE，

在△AFD和△DCE中，

，

∴△AFD≌△DCE（ASA），

∴AD=DE．