Question

【題目】如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D．

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若CD＝4，⊙O的直徑為10，求BD的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8.

【解析】

（1）連接OC，根據題意可證得∠CAD＋∠DCA＝90°，再根據角平分線的性質，得∠DCO＝90°，則CD為⊙O的切線；
（2）過O作OF⊥AB，則∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四邊形OCDF為矩形，在Rt△AOF中，由勾股定理得，從而求得AF的值，進而就可求得BD的長．

（1）證明：連接OC，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC＝∠CAO，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴PB∥OC，

∵CD⊥PA，

∴CD⊥OC，CO為⊙O半徑，

∴CD為⊙O的切線；

（2）解：過O作OF⊥AB，垂足為F，

∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，

∴四邊形DCOF為矩形，

∴OC＝FD＝5，OF＝CD＝4．

在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．

∴AF＝＝＝3，

∵OF⊥AB，由垂徑定理知，F為AB的中點，

∴FB＝AF＝3．

∴BD＝DF+BF＝5+3＝8．