Question

【題目】我區某校舉行冬季運動會，其中一個項目是乒乓球比賽，比賽為單循環制，即所有參賽選手彼此恰好比賽一場. 記分規則是：每場比賽勝者得3分、負者得0分、平局各得1分. 賽后統計，所有參賽者的得分總知為210分，且平局數不超過比賽總場數的，本次友誼賽共有參賽選手__________人.

Answer 1

【答案】13

【解析】

所有場數中，設分出勝負有x場，平局y場，可知分出勝負的x場里，只有勝利一隊即3分，總得分為3x；平局里兩隊各得1分，總得分為2y；所以有3x+2y=210．又根據“平局數不超過比賽場數的”可求出x與y之間的關系，進而得到滿足的9組非負整數解．又設有a人參賽，每人要與其余的（a-1）人比賽，即共a（a-1）場，但這樣每兩人之間是比賽了兩場的，所以單循環即場，即＝x+y，找出x與y的9組解中滿足關于a的方程有正整數解，即求出a的值．

設所有比賽中分出勝負的有x場，平局y場，得：

由①得：2y=210-3x

由②得：2y≤x

∴210-3x≤x

解得：x≥，

∵x、y均為非負整數

∴，，，……，

設參賽選手有a人，得：＝x+y

化簡得：a2-a-2（x+y）=0

∵此關于a的一元二次方程有正整數解

∴△=1+8（x+y）必須為平方數

由得：1+8×（54+24）=625，為25的平方

∴解得：a1=-12（舍去），a2=13

∴共參賽選手有13人．

故答案為：13．