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15、證明:
(1)若n為整數,則(2n+1)2-(2n-1)2一定是8的倍數;
(2)若n為正整數時,n3-n的值必是6的倍數;
(3)四個連續自然數的積加1必為一完全平方數.
分析:(1)運用完全平方式展開后合并,可得含有8的式子,從而可得出結論;
(2)先將式子因式分解,然后討論三因式的奇偶性,從而可證得結論;
(3)先設出這四個自然數,先后表示出它們的積和1的和,從而化簡配方即可得出結論.
解答:證明:(1)∵(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n
∵n為整數,∴8|8n.
即8|(2n+1)2-(2n-1)2命題得證;
(2)n3-n=n(n2-1)=(n-1)n(n+1)
∵n為正整數,(n+1)和n是連續2個自然數,必定一奇一偶,
所以,2|n(n+1);而(n-1),n,(n+1)是連續3個整數,
必有一個是3的倍數,所以3|(n-1)n(n+1),
即6|(n-1)n(n+1).命題得證.
(3)設這四個連續自然數依次為n-2,n-1,n,n+1,
其中n>2且n為自然數,則依題意:
(n-2)(n-2)n(n+1)+1
=(n-2)(n+1)(n-1)n+1
=(n2-n-2)(n2-n)+1
=(n2-n)2-2(n2-n)+1
=(n2-n-1)2
因為n為自然數,所以n2-n-1必為整數,即命題得證.
點評:本題考查數的整除性問題,比較經典,注意掌握證明整除的一般方法,即想辦法得到含有此因式的式子.
練習冊系列答案
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3
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3
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